Hallo,
Wenn die Absage bereits vor (!) Ende der Ausschreibung kam, dann würde ich mal behaupten, dass Du mit einer Konkurrentenklage diese Person richtig ärgern kannst. Aber den Job bekommst Du dadurch nicht zwangsläufig. Es besteht durchaus eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass das Bewerbungsverfahren neu aufgerollt werden muss. Das heißt aber nicht, dass Du darin obsiegen würdest.
Wenn Du allerdings Fehlverhalten in der Personalakte haben solltest, ist das Unterfangen wohl eher aussichtslos.
Meinst Du nicht, dass Du mit einem FS Deine Chancen auch in der Privatwirtschaft erhöhen würdest.