Ja und nein.
Baut man in die Höhe, kann man mehr Menschen darin wohnen lassen. Ja.
Der weg zur Arbeit wird durch eine Wohnung in der Stadt zwar kürzer, aber nicht autom. auch zeitsparsamer. Wird eine Stadt voller, so wirkt sich das auch auf den Verkehr aus. In Berlin gibt es keine 100m Häuser und dennoch braucht man dort, je nach Fall, laaange zur Arbeit. Das Fahren dauert dabei nicht so lange. 
Gut, es muss natürlich einen funktionierenden engmaschigen Nahverkehr mit entsprechend der Anzahl der Pendler ausgerichteten Taktung geben.
Ich finde in Hannover das Netz der Üstra, also der U-/Straßenbahn ziemlich gut. Im Grunde kommt man damit überall hin und muss am Ende halt nochmal eine gewisse Zeit zu fuß gehen. Je näher man am Stadtzentrum ist, umso kürzer werden die Fußwege aber natürlich.
Berlin ist ja eine flächenmäßig riesige Stadt. Da ist es kein Wunder, dass man ewig braucht um irgendwo hinzukommen. Wobei mir das bei meinen Besuchen eigentlich ganz gut funktionierend vorkam, wenn man in der Nähe einer S-Bahn Station residierte. Wenn man es jetzt noch schaffen würde, die ganze Stadt auf eine kleinere Fläche zu bringen, wären die Wege für Straßenbahn usw. entsprechend kürzer. Entsprechende Taktung vorausgesetzt.
Berlin soll sich aber nicht so gut eignen für hohe Gebäude, weil der Untergrund wohl sehr moorig sein soll.
Gib aber auch zahlreiche andere Städte, in denen das Stadtbild dann auf einmal doch wichtiger ist, als die Lösung des Wohnraumproblems.
Oder aber den Wiener Weg: Einfach als größter Vermieter den Markt mit beeinflussen.
Und dann kann man den Mietern eine Sozialauswahl treffen.
Ich kenne das zwar nur vom Hörensagen, aber in der DDR soll die Verwaltung und vor allem die Instandhaltung von staatlichem Wohneigentum nicht so gut funktioniert haben. Und wenn man bei einer derzeit überschaubaren Anzahl Immobilien dann noch solche Artikel (
https://www.tagesschau.de/investigativ/panorama/leerstand-wohnungen-105.html) liest, bin ich mir nicht sicher, ob der deutsche Staat noch in der Lage wäre, diese vernünftig zu verwalten und zu erhalten.
Vom Gedanken her wäre das aber ein guter Ansatz. Da ist dann nur die Frage, wie lange es dauern würde, bis irgendeine Regierung von der Bundeseigenen Immobilienverwaltungs AG, deren 100%iger Eigentümer der Bund ist, erwartet, massive Gewinne zur Deckung des Bundeshaushaltes einzufahren und die Gewinne an den Bund auszuschütten. Dann werden entweder die Mieten stark steigen oder die Instandhaltung auf die noch viel längere Bank geschoben. Wäre nicht das erste Mal in ähnlicher Form.
Edit:
Und davon ab, Deutschland besteht nicht nur aus Großstädten.
Sicherlich nicht. Aber das Wohnraumproblem gibt es vor allem dort. Irgendwo aufm platten Land hast du eher das Problem, dass die vielen leerstehenden Häuser keiner haben will. Da muss man dann auch nicht neu bauen, sondern kann einfach sanieren.
